Question

【題目】已知P,A,B,C是半徑為2的球面上的點(diǎn)，PA=PB=PC=2，，點(diǎn)B在AC上的射影為D，則三棱錐體積的最大值為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

先畫出圖形（見(jiàn)解析），求出三棱錐的高，由題意得出三棱錐體積最大時(shí)面積最大，進(jìn)而求出的面積表達(dá)式，利用函數(shù)知識(shí)求出面積最大值，從而求出三棱錐體積最大值．

如下圖，由題意，，，

取的中點(diǎn)為，則為三角形的外心，且為在平面上的射影，所以球心在的延長(zhǎng)線上，設(shè)，則，

所以，即，所以.

故，

過(guò)作于，設(shè)()，則,

設(shè)，則，故，

所以，則，

所以的面積，

令，則，

因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減．

所以當(dāng)時(shí)，取到最大值為，即的面積最大值為．

當(dāng)的面積最大時(shí)，三棱錐體積取得最大值為.

故選D.