Question

(08年石景山區(qū)統(tǒng)一測試)（14分）

過點的直線與雙曲線：交于、兩點，且  ．

 （Ⅰ）求直線的方程；

 （Ⅱ）過線段上的點作曲線的切線，求切點橫坐標(biāo)的取值范圍；

 （Ⅲ）若過的另一直線與雙曲線交于、兩點，且，則

       一定成立嗎？證明你的結(jié)論．

Answer 1

解析：（Ⅰ）由題意, 直線的斜率一定存在，可設(shè)直線的方程為，

        則由 得．

    設(shè)，，由，知為中點，

    所以．                 ……………………………3分

        由，得．

        所以直線的方程為．               ……………………………5分

（Ⅱ）由，得．

     設(shè)（，）為曲線上一點，

     過（，）的切線方程為，

     即．          

     與方程聯(lián)立得

    解得.        ……………9分

    又由解得、.         …………………………10分

    ∴  .

    故 .                  ……………………………11分

 

 

（Ⅲ）一定成立．

    由點和直線得：．

 聯(lián)立方程組

 得 （，），（，）．

                                                  ……………………………12分

     所以，即．由對稱性可知，.

     所以、、、四點共圓，所以. ……………………14分