Question

求函數(shù)的值域：y=

1-sinx

2-cosx

．

Answer 1

分析：本題給出的表達式

1-sinx

2-cosx

，恰好符合已知兩點（x₁，y₁），（x₂，y₂）求斜率的公式：k=

y2-y1

x2-x′

解答：解：（法一）方程法：原函數(shù)可化為：sinx-ycosx=1-2y，
∴

1+y2

sin(x-φ)=1-2y（其中cosφ=

1

1+y2

，sinφ=

y

1+y2

），
∴sin(x-φ)=

1-2y

1+y2

∈[-1，1]，∴|1-2y|≤

1+y2

，
兩端同時平方得：3y²-4y≤0，∴0≤y≤

4

3

，
故原函數(shù)的值域為[0，

4

3

]．
（法二）數(shù)形結(jié)合法：

1-sinx

2-cosx

可看作求點（2，1）與圓x²+y²=1上的點（sinx，cosx）的連線的斜率的范圍，解略．

點評：若已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則AB所在直線的斜率k=

y2- y1

x2 -x1

，數(shù)形結(jié)合思想有時候解決問題很有效．
另外，本題完全可以向解法一那樣，利用三角換元得出y的取值范圍．