Question

已知探照燈的軸截面是拋物線y²=x，下圖所示為平行于對稱軸y=0(即x軸)的光線在拋物線上的點(diǎn)P、Q的反射情況，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為a(a＞0),問a取何值時(shí)，從入射點(diǎn)P到反射點(diǎn)Q的光線的路程PQ最短.

Answer 1

分析：將光源置于拋物線鏡面的焦點(diǎn)處，光線經(jīng)拋物鏡面反射成一束平行光束.因此，入射線與反射線成平行狀態(tài)，那么光線必過焦點(diǎn)F.

解：由題設(shè)P(a²,a)，故直線PQ的方程為

y=(x-),

    即4ax-(4a²-1)y-a=0.

    解方程組

    得y=-,y=a.

    由此可知點(diǎn)Q(,-).

∴|PQ|=|PF|+|FQ|=a²++≥2+=1.

    當(dāng)且僅當(dāng)a²=，即a=時(shí)，上式等號成立.

    這時(shí)a=，入射點(diǎn)為(,),反射點(diǎn)為(,-).這時(shí)P、Q關(guān)于x軸對稱.