Question

已知x，y為正實數(shù)，求

x

2x+y

+

2y

x+2y

的值域．

Answer 1

考點：基本不等式,函數(shù)的值域

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：本題可先通過換元，將原式轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)問題，然后分類討論，或?qū)Ш瘮?shù)研究單調(diào)性，得到取值范圍，或利用不等式得到函數(shù)的取值范圍，得到本題的結(jié)論．

解答： 解：∵

x

2x+y

+

2y

x+2y

=

1

2+ y x

+

2 y x

1+2 y x

，
∴令

y

x

=t，
f（t）=

1

2+t

+

2t

1+2t

，t＞0．
f(t)=

1

t+2

+1-

1

2t+1

=

t-1

(t+2)(2t+1)

+1，
令t-1=s，則g(s)=

s

2s2+9s+9

+1，（s＞-1）．
當(dāng)s=0時，g（s）=1；
當(dāng)s≠0時，g(s)=

1

2s+ 9 s +9

+1，
當(dāng)-1＜s＜0時，(2s+

9

s

)′=2-

9

s2

=

2s2-9

s2

=

2(s2- 9 2 )

s2

＜0，
2s+

9

s

單調(diào)遞減，2s+

9

s

＜-11，2s+

9

s

+9＜-2，
則-

1

2

＜

1

2s+ 9 s +9

＜0，g(s)∈(

1

2

，1)；
當(dāng)s＞0時，2s+

9

s

≥2

2s• 9 s

=6

2

，
則0＜

1

2s+ 9 s +9

≤

1

9+6 2

，g(s)∈(1，2-

2

3

2

]；
綜上所述，g(s)∈(

1

2

，2-

2

3

2

]．
∴函數(shù)

x

2x+y

+

2y

x+2y

的值域為(

1

2

，2-

2

3

2

]．

點評：本題考查了函數(shù)值域的求法、導(dǎo)數(shù)法求單調(diào)性、不等式法求最值，還考查了學(xué)生化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，換元時要注意新變量的取值范圍．本題有一定的難度，屬于中檔題．