Question

如圖。在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=BC=2AA₁，∠ABC=90°，M是BC中點。

（I）求證：A₁B∥平面AMC₁；
（II）求直線CC₁與平面AMC₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）試問：在棱A₁B₁上是否存在點N，使AN與MC₁成角60°？若存在，確定點N的位置；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（I）由線線平行證得線面平行 （II）（Ⅲ）.在棱上存在棱的中點，使與成角.

解析試題分析：（Ⅰ）連接交于,連接.在三角形中，
是三角形的中位線，
所以∥,
又因平面，
所以∥平面. 
（Ⅱ）（法一）設(shè)直線與平面所成角為，
點到平面的距離為，不妨設(shè)，則，
因為,，
所以.                
因為，
所以,.
.
，
，.     
（法二）如圖以所在的直線為軸, 以所在的直線為軸, 以所在的直線為軸，以的長度為單位長度建立空間直角坐標系.

則,,,，,,.設(shè)直線與平面所成角為，平面的法向量為.則有,,，
令,得，
設(shè)直線與平面所成角為，
則.               
（Ⅲ）假設(shè)直線上存在點，使與成角為.
設(shè)，則，.
設(shè)其夾角為，
所以，
，