Question

已知球與棱長均為2的三棱錐各條棱都相切，則該球的表面積為（　　）

• A、

  2

  3

  π
• B、2π
• C、2

  2

  π
• D、3π

Answer 1

分析：將三棱錐放入棱長為

2

的正方體，可得正方體的內(nèi)切球恰好是與三棱錐各條棱都相切的球，根據(jù)三棱錐棱長算出正方體的棱長為

2

，由此算出內(nèi)切球半徑，用公式即可得到該球的表面積．

解答：解：將棱長均為2的三棱錐放入棱長為

2

的正方體，如圖
∵球與三棱錐各條棱都相切，
∴該球是正方體的內(nèi)切球，切正方體的各個面切于中心，
而這個切點恰好是三棱錐各條棱與球的切點
由此可得該球的直徑為

2

，半徑r=

2

2

，
∴該球的表面積為S=4πr²=4π×(

2

2

)2=2π．
故選：B．

點評：本題主要考查了球的表面積公式的計算，多面體內(nèi)切球和球的表面積公式等知識，構(gòu)造正方體是解決本題的關(guān)鍵．