Question

集合M的元素為自然數，且滿足：如果x∈M，則8－x∈M，試回答下列問題：

(1)寫出只有一個元素的集合M；

(2)寫出元素個數為2的所有集合M；

(3)滿足題設條件的集合M共有多少個？

Answer 1

答案：
解析：

(1)M中只有一個元素，根據已知必須滿足x＝8－x，∴x＝4．故含一個元素的集合M＝{4}． 　　(2)當M中只含兩個元素時，其元素只能是x和8－x，從而全部含兩個元素的集合M應為{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}． 　　(3)滿足條件的M是由集合{4}，{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}中的元素組成，它包括以下情況： 　�、僦缓�1個的有{4}，{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}共5種； 　�、诤�有2個的有{4，0，8}，{4，1，7}，{4，2，6}，{4，3，5}，{0，8，1，7}，{0，8，2，6}，{0，8，3，5}，{1，7，2，6}，{1，7，3，5}，{2，6，3，5}共10種． 　�、酆�有3個的有{4，0，8，1，7}，{4，0，8，2，6}，{4，0，8，3，5}，{4，1，7，2，6}，{4，1，7，3，5}，{4，2，6，3，5}，{0，8，1，7，2，6}，{0，8，1，7，3，5}，{1，7，2，6，3，5}，{0，8，2，6，3，5}共10種． 　�、芎�有4個的有{4，0，8，1，7，2，6}，{4，1，7，2，6，3，5}，{4，0，8，2，6，3，5}，{4，0，8，1，7，3，5}，{0，8，1，7，2，6，3，5}共5種． 　　⑤含有5個的有{4，0，8，1，7，2，6，3，5}共1種． 　　共有5＋10＋10＋5＋1＝31(個)．

提示：

分析：抓住x∈M時，8－x∈M這一條件，對元素進行逐一驗證，然后找出滿足題意的基本元素，最后寫出滿足各題意的解． 　　評注：由集合中元素的互異性及兩元素之和為8的特點出發(fā)，在(3)同中，從M中元，素的特點入手，滿足條件的集合可含(4}，{0，8}，{1，7)，{2，6}，{3，5}中的1個，2個，3個，4個，5個，分別“數”之，最后求和．