Question

如圖,已知兩個正四棱錐P—AB—CD與Q—ABCD的高分別為1和2，AB=4.

(1)證明PQ⊥平面ABCD;

(2)求異面直線AQ和PB所成的角;

(3)求點P到平面QAD的距離.

Answer 1

(1)證明：取AD的中點M,連結(jié)PM、QM.

∵P—ABCD與Q—ABCD都是正四棱錐，

∴AD⊥PM，AD⊥QM.

    從而AD⊥平面PQM.

    又PQ平面PQM,

∴PQ⊥AD.

    同理,PQ⊥AB,

∴PQ⊥平面ABCD.

(2)解：連結(jié)AC、BC.

    設(shè)AC∩BD=O,由PQ⊥平面ABCD及正四棱錐的性質(zhì)可知O在PQ上,

    從而P、A、Q、C四點共面.

    取OC的中點N,連結(jié)PN.

∵，

∴.

    從而AQ∥PN,∠BPN(或其補角)是異面直線AQ與PB所成的角.

    連結(jié)BN.

∵PB==3,

PN=,

BN=,

∴cosBPN=.

    從而異面直線AQ與PB所成的角是arccos.

(3)解：由(1)知,AD⊥平面PQM,

∴平面QAD⊥平面PQM.

    過P作PH⊥QM于H,則PH⊥平面QAD.

∴PH的長為點P到平面QAD的距離.

    連結(jié)OM，

∵OM=AB=2=OQ,

∴∠MQP=45°.

    又PQ=PO+QO=3，

    于是PH=PQsin45°=,

    即點P到平面QAD的距離是.