Question

在△ABC中，AB的中點(diǎn)為E，

CF

=3

FB

，AF與CE的交點(diǎn)為P，設(shè)

AB

=

b

，AC=

c

，

AP

=λ

b

+μ

c，

則數(shù)組（λ，μ）的值為

(

3

7

，

1

7

)

．

Answer 1

分析：由題意，可以

AB

，

AC

為基向量，由向量共線的條件用兩種方式將向量

AP

由兩個(gè)基向量表示出來，此過程中引入兩個(gè)參數(shù)，由平面向量基本定理知，同一個(gè)向量在同一組基底上的分解是唯一的，由此得到引入兩個(gè)參數(shù)的方程，解出它們的值，得到向量

AP

由兩個(gè)基向量表示的表達(dá)式，此時(shí)兩個(gè)基向量的第數(shù)即為要求的λ、μ的值，由此得答案

解答：解：由題意及圖，可以

AB

，

AC

為基向量，由△ABC中，AB的中點(diǎn)為E，

CF

=3

FB

，AF與CE的交點(diǎn)為P，
∴

AP

=

AE

+

EP

=

1

2

AB

+m

EC

=

1

2

AB

+m(

AC

-

1

2

AB

)=

1

2

(1-m)

AB

+m

AC

             

AP

=n

AF

=n(

AB

+

BF

)=n(

AB

+

1

4

BC

)=n(

AB

+

1

4

AC

-

1

4

AB

)=

3n

4

AB

+

n

4

AC

∴

1-m 2 = 3n 4 m= n 4

解得m=

1

7

，n=

4

7

∴

AP

=

3

7

AB

+

1

7

AC

又

AB

=

b

，AC=

c

，

AP

=λ

b

+μ

c，

∴λ=

3

7

，μ=

1

7

故答案為(

3

7

，

1

7

)

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量在幾何中的運(yùn)用，向量共線的條件，平面向量基本定理，考查了同一性的思想，解題的關(guān)鍵熟練掌握向量的加減運(yùn)算及幾何意義，理解平面向量基本定理，本題的解題方法 基向量法，選定基向量是本題的重點(diǎn)，由于題設(shè)中已明確出向量

AP

由

AB

，

AC

的參數(shù)表達(dá)式，基向量易選定．