Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

r2

b2

=1（a＜b＜0）的離心率為

1

2

，橢圓C的中心O關(guān)于直線2x-y-5=0的對稱點落在直線x=a²上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P（4，0）是橢圓C上關(guān)于x軸對稱的任意兩點，連接PN交橢圓C于另一點E，求直線PN的斜率范圍并證明直線ME與x軸相交頂點．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意知e=

c

a

=

1

2

，則a=2c，求出橢圓C的中心O關(guān)于直線2x-y-5=0的對稱點，可求a，即可得出橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線PN的方程為y=k（x-4）代入橢圓方程，根據(jù)判別式，可求直線PN的斜率范圍，求出直線ME的方程為y-y₂=

y2+y1

x2-x1

（x-x₂），令y=0，得x=x₂-

y2(x2-x1)

y2+y1

，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意知e=

c

a

=

1

2

，則a=2c，
設(shè)橢圓C的中心O關(guān)于直線2x-y-5=0的對稱點（m，n），則

n m •2=-1 2• m 2 - n 2 -5=0

，
∴m=4，n=-2，
∵橢圓C的中心O關(guān)于直線2x-y-5=0的對稱點落在直線x=a²上．
∴a²=4，∴c=1，
∴b=

3

，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由題意知直線PN的斜率存在，設(shè)直線PN的方程為y=k（x-4）．
代入橢圓方程，可得（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0．①
由△=（-32k²）²-4（4k²+3）（64k²-12）＞0，得4k²-1＜0，∴-

3

6

＜k＜

3

6

又k=0不合題意，∴直線PN的斜率的取值范圍是：（-

3

6

，0）∪（0，

3

6

）．
（Ⅲ）設(shè)點N（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則M（x₁，-y₁）．
直線ME的方程為y-y₂=

y2+y1

x2-x1

（x-x₂）．
令y=0，得x=x₂-

y2(x2-x1)

y2+y1

．
將y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4）代入整理，得x=

2x1x2-4(x1+x2)

x1+x2-8

．②
由①得x₁+x₂=

32k2

4k2+3

，x₁x₂=

64k2-12

4k2+3

代入②整理，得x=1．
∴直線ME與x軸相交于定點（1，0）．

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．