Question

（21）如圖，在五棱錐S－ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2,BC=DE=,

∠BAE=∠BCD=∠CDE=120°.

（Ⅰ）求異面直線CD與SB所成的角（用反三角函數(shù)值表示）；

（Ⅱ）證明BC⊥平面SAB；

（Ⅲ）用反三角函數(shù)值表示二面角B-SC-D的大�。ū拘�問不必寫出解答過程）

Answer 1

（21）解法一：（Ⅰ）連結BE，延長BC、ED交于點F，

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

則∠DCF=∠CDF=60°，

∴△CDF為正三角形，∴CF=DF。

又BC=DE，∴BF=EF。

因此，△BFE為正三角形，

∴∠FBE=∠FCD=60°，

∴BE//CD，

所以∠SBE（或其補角）就是異面直線CD與SB所成的角。

∵SA⊥底面ABCDE，且SA=AB=AE=2，

∴SB=2，同理SE=2。

又∠BAE=120°，所以BE=2.從而cos∠SBE=，

∴∠SBE=arccos.

所以異面直線CD與SB所成的角為arccos.

（Ⅱ）由題意，△ABE是等腰三角形，∠BAE=120°，

所以∠ABE=30°，又∠FBE=60°，

∴∠ABC=90°，所以BC⊥BA。

∵SA⊥底面ABCDE，BC底面ABCDE，

∴SA⊥BC，又SA∩BA=A，

∴BC⊥平面SAB。

（Ⅲ）二面角B-SC-D的大小為π－arccos.

解法二（向量解法）：

（Ⅰ）連結BE，延長BC、ED交于點F，則∠DCF=∠CDF=60°，

∴△CDF為正三角形，∴CF=DF。

又BC=DE，∴BF=EF。

故△BFE為正三角形。

因為△ABE是等腰三角形，且∠BAE=120°，∴∠ABC=90°.

以A為原點，AB、AS邊所在的直線分別為x軸、z軸，以平面ABC內(nèi)垂直于AB的直線為y軸，建立空間直角坐標系（如圖），則

A（0，0，0），B（2，0，0），S（0，0，2），

且C（2，，0），D（，0），

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

于是=（－），

=（－2，0，2），則

cos<，>=

                 

=，

∴<，>=arccos，

∴異面直線CD與SB所成的角為arccos.

（Ⅱ）∵=（0，，0），=（2，0，0），

=（0，0，－2），

∴·=（0，3，0）·（2，0，0）=0，

·=（0，3，0）·（0，0，－2）=0，

∴BC⊥AB，BC⊥SA。

∵AB∩SA=A，

∴BC⊥平面SAB。

（Ⅲ）二面角B-SC-D的大小為π－arccos。