Question

如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF＝∠CEF＝90°，AD＝，EF＝2．

(1)求證：AE∥平面DCF；

(2)求證：EF⊥平面DCE；

(3)當(dāng)AB的長為何值時，二面角A―EF―C的大小為60°？

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：過點(diǎn)E作EG⊥CF并CF于G，連結(jié)DG，可得四邊形BCGE為矩形．又ABCD為矩形， 　　所以AD⊥∥EG，從而四邊形ADGE為平行四邊形，故AE∥DG． 　　因?yàn)?I>AE平面DCF，DG平面DCF，所以AE∥平面DCF　　3分 　　(2)由平面ABCD⊥平面BEFG，DC⊥BC，得DC⊥平面BEFC， 　　所以DC⊥EF，又EF⊥EC，DC與EC交于點(diǎn)C 　　所以EF⊥平面DCE　　6分； 　　(3)解：過點(diǎn)B作BH⊥EF交FE的延長線于H，連結(jié)AH． 　　由平面ABCD⊥平面BEFG，AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC， 　　從而AH⊥EF， 　　所以∠AHB為二面角A－EF－C的平面角． 　　在Rt△EFG中，因?yàn)?I>EG＝AD＝ 　　又因?yàn)?I>CE⊥EF，所以CF＝4， 　　從而BE＝CG＝3．于是BH＝BE·sin∠BEH＝ 　　因?yàn)?I>AB＝BH·tan∠AHB，所以當(dāng)AB為時，二面角A－EF－G的大小為60°　　12分