Question

4．已知集合A是函數(shù)g（x）=log_a[-（x-2a）（x-a）]（a＞0，且a≠1）的定義域，集合B和集合C分別是函數(shù)$f（x）=\sqrt{9-{3^x}}$的定義域和值域．
（1）求集合A，B，C；
（2）若A∪C=C，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出集合A，根據(jù)二次根式的性質(zhì)求出集合B、C即可；（2）若A∪C=C，則A⊆C，得到關于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）由-（x-2a）（x-a）＞0得（x-2a）（x-a）＜0，又因為a＞0，且a≠1
所以a＜x＜2a，所以A=（a，2a）…（2分）
對于函數(shù)$f（x）=\sqrt{9-{3^x}}$，由9-3^x≥0得x≤2，B=[2，+∞）…（4分）
所以0＜3^x≤9，0≤9-3^x＜9，所以$f（x）=\sqrt{9-{3^x}}∈[{0，3}）$，C=[0，3）…（6分）
（2）若A∪C=C，則A⊆C，
則有$\left\{{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a≠1}\\{2a≤3}\end{array}}\right.$⇒$0＜a≤\frac{3}{2}$且a≠1，
所以實數(shù)a的取值范圍是$0＜a≤\frac{3}{2}$且a≠1．…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的定義域問題，考查集合的包含關系，考查二次根式以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．