Question

18．函數(shù)f（x）=$\frac{ax+2015b}{{x}^{2}+1}$是定義在（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，且f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{3}{10}$．
（1）求實數(shù)a，b，并確定函數(shù)f（x）的解析式；
（2）用定義證明f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）寫出f（x）的單調(diào)減區(qū)間，并判斷f（x）有無最大值或最小值？如有，寫出最大值或最小值．（本小問不需說明理由）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意f（x）在原點有定義，且為奇函數(shù)，從而f（0）=0，這樣便可求出b=0，再根據(jù)$f（\frac{1}{3}）=\frac{3}{10}$即可求出a=1，從而得出f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$；
（2）根據(jù)增函數(shù)的定義，設任意的x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，然后作差，通分，提取公因式x₁-x₂，證明f（x₁）＜f（x₂），便可得出f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）根據(jù)（2）的作差后得到的$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（{{x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}$，便可看出x₁，x₂∈（-∞，-1]，或x₁，x₂∈[1，+∞）時，f（x₁）＞f（x₂），從而便得出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，這樣根據(jù)f（x）在R上的單調(diào)性便可得出f（x）的最小值和最大值．

解答 解：（1）f（x）是定義在（-∞，+∞）上的奇函數(shù)；
∴f（0）=0；
即$\frac{0+2015b}{0+1}=0$；
∴b=0；
∴$f（x）=\frac{ax}{{x}^{2}+1}$；
又$f（\frac{1}{3}）=\frac{3}{10}$；
∴$\frac{\frac{a}{3}}{\frac{1}{9}+1}=\frac{3}{10}$；
∴a=1；
∴$f（x）=\frac{x}{{x}^{2}+1}$；
（2）證明：設x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}+1}-\frac{{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}+1}$=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（{{x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}$；
∵-1＜x₁＜x₂＜1；
∴x₁-x₂＜0，-1＜x₁x₂＜1，1-x₁x₂＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-1]，[1，+∞）；
當x=-1時，f（x）取最小值$-\frac{1}{2}$；當x=1時，f（x）取最大值$\frac{1}{2}$．

點評 考查奇函數(shù)在原點有定義時，f（0）=0，已知函數(shù)求值的方法，增函數(shù)的定義，根據(jù)增函數(shù)的定義證明一個函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較f（x₁）與f（x₂），作差后為分式的一般要通分，一般提取公因式x₁-x₂，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值的方法．