Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，E是A₁C的中點(diǎn)，ED⊥A₁C且交AC于D,A₁A=AB=BC．

(Ⅰ)證明：A₁C⊥平面EBD；

(Ⅱ)求平面A₁AB與平面EDB所成的二面角的大小(僅考慮平面角為銳角的情況)．

Answer 1

(1)證明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中A₁A⊥AB，∴Rt△A₁AB中AB=

∴BC=A₁B∴△A₁BC是等腰三角形

∵E是等腰△A₁BC底邊A₁C上的中點(diǎn),

∴A₁C⊥BE            ①

又依條件知A₁C⊥ED,   ②

且ED∩BE=E，        ③

由①,②，③得A₁C⊥平面EBD 

(2)∵A₁A、ED平面A₁AC，且A₁A、ED不平行.

故延長A₁A、ED后必相交，設(shè)交點(diǎn)為F，連接FB

∴A₁-FB-E是所求的二面角.

依條件易證明Rt△A₁EF≌Rt△A₁AC.

∵E為A₁C中點(diǎn)，∴A為A₁F中點(diǎn)

∴AF=A₁A=AB，∴∠A₁BA=∠ABF=45 .

∴∠A₁BF=90 .即A₁B⊥FB.

又A₁E⊥平面EFB,

∴EF⊥FB

∴∠A₁BE是所求的二面角的平面角.

E是等腰三角形A₁BC底邊中點(diǎn),

∵∠A₁BE=45 .故所求的二面角的大小為45 .