Question

求證：51⁵¹-1能被7整除.

Answer 1

證明：51⁵¹-1=（49+2）⁵¹-1=·2+…++2⁵¹-1，

又2⁵¹-1=(2³)¹⁷-1=(7+1)¹⁷-1=7¹⁷++…+·7，

∴51⁵¹-1=7²(+…+)+7(7¹⁶+7¹⁵+…+)=7［7(49⁴⁹+·2+…+2⁵⁰)+(7¹⁶+7¹⁵+…+)］.

∵7(49⁴⁹+·2+…+·2⁵⁰)+(7¹⁶+7¹⁵+…+)為整數(shù),

∴51⁵¹-1能被7整除.