Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}a{x^2}$-（a+1）x+lnx．
（I）當a=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處切線的斜率；
（II）當a=3時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a=2代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進一步求出函數(shù)在x=1時的導(dǎo)數(shù)值得答案；
（Ⅱ）把a=3代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)大于0求得原函數(shù)的增區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)小于0求得原函數(shù)的減區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=$\frac{1}{2}a{x^2}$-（a+1）x+lnx=x²-3x+lnx，
$f′（x）=2x-3+\frac{1}{x}$，
∴f′（1）=2-3+1=0．
又f（1）=1-3=-2．
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處切線的斜率為-2；
（Ⅱ）當a=3時，f（x）=$\frac{1}{2}a{x^2}$-（a+1）x+lnx=$\frac{3}{2}{x}^{2}-4x+lnx$．
f′（x）=3x-4+$\frac{1}{x}$=$\frac{3{x}^{2}-4x+1}{x}$（x＞0），
由f′（x）＞0，得0＜x$＜\frac{1}{3}$或x＞1；由f′（x）＜0，得$\frac{1}{3}＜x＜1$．
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為$（0，\frac{1}{3}），（1，+∞）$；減區(qū)間為$（\frac{1}{3}，1）$．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．