Question

(理)在棱長為2的斜三棱柱ABC－DEF中，已知BF⊥AE，BF∩CE＝O，AB＝AE，連結(jié)AO．

(Ⅰ)求證：AO⊥平面FEBC；

(Ⅱ)求二面角B－AC－E的余弦值的大��；

(Ⅲ)求三棱錐B－DEF的體積．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)證明：∵是菱形， 　　∴⊥．　1分 　　又∵⊥，且 　　∴⊥平面，　3分 　　而AO平面 　　∴⊥ 　　∵，　∴ 　　∴⊥，且 　　∴⊥平面．　4分 　　(Ⅱ)　取的中點，連結(jié)、 　　∵△是等邊三角形　∴⊥ 　　∵⊥平面　∴是在平面上的射影，∴由三垂線定理逆定理．可得 　　∴是二面角的平面角　6分 　　≌Rt，則，∴四邊形為正方形． 　　在直角三角形中，，　∴＝＝ 　　∴　8分 　　(Ⅱ)另解：由(Ⅰ)易證≌Rt，則， 　　∴四邊形為正方形．以為原點，所在直線為軸，F(xiàn)B所在直線為軸，OA所在直線為軸，建立空間直角坐標系(如圖)，則A(0，0，)，B(0，，0)，C(－，0，0)，＝(0，，－)，＝(－，0，－)　6分 　　設＝()為平面的法向量，則 　　∴，取＝(－1，1，1)為平面的一個法向量． 　　而＝(0，，0)為平面的一個法向量．設為與的夾角，則＝＝ 　　∴　8分 　　(Ⅲ)∥，　∥平面 　　∴點、到面的距離相等　9分 　　 　　　12分