Question

橢圓C:=1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁、F₂,點(diǎn)P在橢圓C上,且PF₁⊥F₁F₂,|PF₁|=,|PF₂|=.

(1)求橢圓C的方程;

(2)若直線l過圓x²+y²+4x-2y=0的圓心M,交橢圓C于A、B兩點(diǎn),且A、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱,求直線l的方程.

Answer 1

解法一:(1)因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上,所以2a=|PF₁|+|PF₂|=6,a=3.

在Rt△PF₁F₂中,|F₁F₂|==2,故橢圓的半焦距c=,

從而b²=a²-c²=4,所以橢圓C的方程為=1.

(2)設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x₁,y₁),(x₂,y₂).

已知圓的方程為(x+2)²+(y-1)²=5,所以圓心M的坐標(biāo)為(-2,1),

從而可設(shè)直線l的方程為y=k(x+2)+1,

代入橢圓C的方程得(4+9k²)x²+(36k²+18k)x+36k²+36k-27=0.

因?yàn)锳、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱,所以==-2,解得k=.

所以直線l的方程為y=(x+2)+1,即8x-9y+25=0.

(經(jīng)檢驗(yàn),所求直線方程符合題意)

解法二:(1)同解法一.(2)已知圓的方程為(x+2)²+(y-1)²=5,所以圓心M的坐標(biāo)為(-2,1).

設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x₁,y₁)、(x₂,y₂).由題意x₁≠x₂且=1,①

=1.②

由①-②,得=0.③

因?yàn)锳、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱,所以x₁+x₂=-4,y₁+y₂=2.代入③得,即直線l的斜率為,

所以直線l的方程為y-1=(x+2),即8x-9y+25=0.(經(jīng)檢驗(yàn),所求直線方程符合題意).