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圖2-5-3所示是并列的三個大小相同的正方形,求證:∠1+∠2+∠3=90°.

圖2-5-3

證明:以O(shè)為坐標原點,OC、OG所在的直線為x、y軸建系如上圖,設(shè)正方形邊長為1,則=(3,1),=(2,1),作向量=(3,-1),則的夾角等于∠2+∠3.

∵||=5,| |=10, ·=2×3+1×(-1)=5,

∴cos〈,〉=.

∵〈,〉∈[0°,180°],

∴〈,〉=45°,即∠2+∠3=45°.

∵∠1=45°,∴∠1+∠2+∠3=90°.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

某高校在2012年的自主招生考試成績中隨機抽取40名學生的筆試成績,按成績共分成五組:第1組[75,80),第2組[80,85),第3組[85,90),第4組[90,95),第5組[95,100],得到的頻率分布直方圖如圖所示,同時規(guī)定成績在85分以上(含85分)的學生為“優(yōu)秀”,成績小于85分的學生為“良好”,且只有成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學生才能獲得面試資格.
(1)求出第4組的頻率,并補全頻率分布直方圖;
(2)根據(jù)樣本頻率分布直方圖估計樣本的中位數(shù);
(3)如果用分層抽樣的方法從“優(yōu)秀”和“良好”的學生中選出5人,再從這5人中選2人,那么至少有一人是“優(yōu)秀”的概率是多少?

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

某高校在2012年的自主招生考試成績中隨機抽取40名學生的筆試成績,按成績共分成五組:第1組[75,80),第2組[80,85),第3組[85,90),第4組[90,95),第5組[95,100],得到的頻率分布直方圖如圖所示,同時規(guī)定成績在85分以上(含85分)的學生為“優(yōu)秀”,成績小于85分的學生為“良好”,且只有成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學生才能獲得面試資格.
(1)求出第4組的頻率,并補全頻率分布直方圖;
(2)如果用分層抽樣的方法從“優(yōu)秀”和“良好”的學生中選出5人,再從這5人中選2人,那么至少有一人是“優(yōu)秀”的概率是多少?
(3)若該校決定在第4,5 組中隨機抽取2名學生接受考官A的面試,第5組中有ξ名學生被考官A面試,求ξ的分布列和數(shù)學期望.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

“世界睡眠日”定在每年的3月21日,2009年的世界睡眠日主題是“科學管理睡眠”.為提高公眾對健康睡眠的科學認識和自我管理能力,某網(wǎng)站于3月13日起進行了為期一周的在線調(diào)查,共有200人參與.現(xiàn)將數(shù)據(jù)整理分組如表所示.
(1)畫出頻率分布直方圖;
(2)調(diào)查對象中睡眠時間少于8的頻率是多少?
(3)為了對數(shù)據(jù)進行分析,采用了計算機輔助計算,算法流程如圖所示.求輸出的S的值,并說明S的統(tǒng)計意義.
序號i 分組睡眠時間(小時) 組中值(m1 頻數(shù)(人數(shù)) 頻率(f1
1 [4,5) 4.5 8 0.04
2 [5,6) 5.5 52 0.26
3 [6,7) 6.5 60 0.30
4 [7,8) 7.5 56 0.28
5 [8,9) 8.5 20 0.10
6 [9,10) 9.5 4 0.02

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數(shù)學家、數(shù)學教育家、楊輝三角是楊輝的一大重要研究成果,它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān),楊輝三角中蘊藏了許多優(yōu)美的規(guī)律.如圖所示是一個11階楊輝三角:

(1)求第20行中從左到右的第4個數(shù);
(2)若第n行中從左到右第14與第15個數(shù)的比為
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,求n的值;
(3)在第3斜列中,前5個數(shù)依次為1,3,6,10,15;第4斜列中,第5個數(shù)為35.顯然,1+3+6+10+15=35.事實上,一般地有這樣的結(jié)論:第m斜列中(從右上到左下)前k個數(shù)之和,一定等于第m+1斜列中第k個數(shù).試用含有m,k(m,k∈N*)的數(shù)學公式表示上述結(jié)論,并給予證明.

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科目:高中數(shù)學 來源:同步題 題型:解答題

2008年北京奧運會中國跳水夢之隊取得了輝煌的成績.據(jù)科學測算,跳水運動員進行10米跳臺跳水訓練時,身體(看成一點)在空中的運動軌跡(如下圖所示)是一條經(jīng)過坐標原點的拋物線(圖中標出數(shù)字為已知條件),且在跳某個規(guī)定的翻騰動作時,正常情況下運動員在空中的最高點距水面米,入水處距池邊4米,同時運動員在距水面5米或5米以上時,必須完成規(guī)定的翻騰動作,并調(diào)整好入水姿勢,否則就會出現(xiàn)失誤.
(1)求這個拋物線的解析式;
(2)在某次試跳中,測得運動員在空中的運動軌跡為(1)中的拋物線,且運動員在空中調(diào)整好入水姿勢時距池邊的水平距離為米,問此次跳水會不會失誤?請通過計算說明理由;
(3)某運動員按(1)中拋物線運行,要使得此次跳水成功,他在空中調(diào)整好入水姿勢時,距池邊的水平距離至多應為多大?

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