Question

4．如圖，在四棱錐F-ABCD中，側(cè)面ABF⊥底面ABCD，四邊形ABCD為矩形，且AB=2，AD=AF=1，∠BAF=60°．O、P分別為AB、CB的中點(diǎn)，M為△OBF的重心．
（1）求證：PM∥平面AFC
（2）求證：平面ADF⊥平面CBF．

Answer 1

分析 （1）由三角形的重心的定義，結(jié)合中位線定理和面面平行的判定和性質(zhì)，即可得證；
（2）過F在平面BCF中作l∥BC，證得l為平面ADF和平面CBF的交線，再由面面垂直的性質(zhì)定理，可得BC⊥平面ABF，由線面垂直的性質(zhì)和面面垂直的定義，即可得到．

解答 證明：（1）M為△OBF的重心，連接OM，延長(zhǎng)交BF于H，
連接PH，OP，
由PH為△BFC的中位線，即有PH∥CF，
由OP為△ABC的中位線，即有OP∥AC，
即有平面ACF∥平面OHP，
PM?平面OHP，則PM∥平面AFC；
（2）過F在平面BCF中作l∥BC，由AD∥BC，
可得l∥AD，
則平面ADF和平面BCF的交線為l，
側(cè)面ABF⊥底面ABCD，由BC⊥AB，
可得BC⊥平面ABF，即有BC⊥BF，
即有l(wèi)⊥BF，
同理可得l⊥AF，
則∠AFB為平面ADF和平面CBF所成的角，
在△ABF中，BF=$\sqrt{A{B}^{2}+A{F}^{2}-2AB•AF•cos60°}$
=$\sqrt{4+1-2×2×1×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有∠AFB=90°，
則平面ADF⊥平面CBF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的判定和面面垂直的判定，考查空間線面的位置關(guān)系，考查運(yùn)算和推理能力，屬于中檔題．