Question

12．已知函數(shù)f（x）=ax³-3x²+1-$\frac{3}{a}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）為曲線y=f（x）上兩點，線段AB與x軸有公共點，且x₁，x₂均為y=f（x）的極值點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導函數(shù)，求出相應方程的根，因為二次項的系數(shù)為a，要分a＞0，和a＜0進行討論．
（2）由曲線y=f（x）上兩點A、B為函數(shù)的兩極值點，又線段AB與x軸有公共點，及兩極值應該異號（或其中一個為0），得到關于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）由a≠0，f′（x）=3ax2-6x=3ax（x-$\frac{2}{a}$）
令f′（x）=0得x₁=0，x₂=$\frac{2}{a}$．
（i）當a＞0時，
若x∈（-∞，0），則f'（x）＞0，所以f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是增函數(shù)；
若x∈（0，$\frac{2}{a}$），則f'（x）＜0，所以f（x）在區(qū)間（0，$\frac{2}{a}$）上是減函數(shù)；
若x∈（$\frac{2}{a}$，+∞），則f'（x）＞0，所以f（x）在區(qū)間（$\frac{2}{a}$，+∞）上是增函數(shù)；
（i i）當a＜0時，
若x∈（-∞，$\frac{2}{a}$），則f'（x）＜0，所以f（x）在區(qū)間（-∞，$\frac{2}{a}$）上是減函數(shù)；
若x∈（$\frac{2}{a}$，0），則f'（x）＞0，所以f（x）在區(qū)間（$\frac{2}{a}$，0）上是增函數(shù)；
若x∈（0，+∞），則f'（x）＜0，所以f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)；
（2）由（1）中（i）的討論及題設知，
曲線y=f（x）上的兩點A，B的縱坐標為函數(shù)的極值，且函數(shù)y=f（x）在x=0，x=$\frac{2}{a}$處分別是取得極大值和極小值
f（0）=1-$\frac{3}{a}$，f（$\frac{2}{a}$）=-$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{3}{a}$+1．
因為線段AB與x軸有公共點，所以 $\left\{\begin{array}{l}{f（0）≥0}\\{f（\frac{2}{a}）≤0}\end{array}\right.$并且兩等號不能同時成立
即（1-$\frac{3}{a}$）（-$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{3}{a}$+1）≤0，∴$\frac{（a+1）（a-3）（a-4）}{{a}^{3}}$≤0，
解得：-1≤a＜0或3≤a≤4，
故所求實數(shù)a的取值范圍是[-1，0）∪[3，4]．

點評 本題考查了函數(shù)的導數(shù)，單調(diào)性，極值，零點等知識．是一道導數(shù)的綜合題．屬于中檔題．