Question

如圖，三棱錐P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，△ABC是邊長為2的正三角形，D，E分別為PB，PC中點．
（1）若PA=2，求直線AE與PB所成角的余弦值；
（2）若平面ADE⊥平面PBC，求PA的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）以A為坐標原點，過A且與FB平行的直線為x軸，AC為y軸，AP為z軸建立如圖所示直角坐標系．取AC的中點F，連接BF則BF⊥AC．根據(jù)題中數(shù)據(jù)可得A、B、C、P、E各點的坐標，從而得到向量、的坐標，再用空間向量的夾角公式加以計算，結合異面直線所成的角的定義即可得到直線AE與PB所成角的余弦值；
（2）設PA=a，可得、含有字母a的坐標形式，利用垂直向量數(shù)量積為0的方法建立方程組，解出平面PBC的一個法向量為=（a，a，2），同理得到平面ADE的一個法向量=（-a，-a，2），由平面ADE⊥平面PBC可得•=-a²-a²+4=0，解之得a=，由此即可得到線段PA的長．
解答：解：（1）如圖，取AC的中點F，連接BF，則BF⊥AC．以A為坐標原點，過A且與FB平行的直線為x軸，AC為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標系，如圖所示
則A（0，0，0），B（，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1）
∴=（，1，-2），=（0，1，1）
設直線AE、PB所成的角為θ，則cosθ==
即直線AE與PB所成角的余弦值為；
（2）設PA=a，則P（0，0，a），可得=（，1，-a），=（0，2，-a）
設平面PBC的法向量為=（x，y，z），則•=0且•=0
∴，令z=2，得y=a，x=．
可得=（a，a，2）是平面PBC的一個法向量
∵D、E分別為PB、PC中點，∴D（，，），E（0，1，）
因此，=（，，），=（0，1，），
類似求平面PBC法向量的方法，可得平面ADE的一個法向量=（-a，-a，2）
∵平面ADE⊥平面PBC，
∴⊥，可得•=-a²-a²+4=0，解之得a=
因此，線段PA的長等于．
點評：本題給出側棱PA與底面△ABC垂直的三棱錐，求異面直線所成的角并在面面垂直的情況下求線段PA的長，著重考查了利用空間向量研究線面垂直、面面垂直的判定與性質和異面直線所成角的求法等知識，屬于中檔題．