Question

已知函數(shù)在x=a處取得極值．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=2x³﹣3af′（x）﹣6a³，如果g（x）在開區(qū)間（0，1）上存在極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解（1）f'（x）=﹣x²+2bx﹣3a²
由題意知f'（a）=﹣a²+2ba﹣3a²=0
則b=2a
∴
（2）由已知可得g（x）=2x³+3ax²﹣12a²x+3a³
則g'（x）=6x²+6ax﹣12a²=6（x﹣a）（x+2a）
令g'（x）=0，得x=a或x=﹣2a
若a＞0，當(dāng)x＜﹣2a或x＞a時(shí)，g'（x）＞0；
當(dāng)﹣2a＜x＜a時(shí)，g'（x）＜0
所以當(dāng)x=a時(shí)，g（x）有極小值，
∴0＜a＜1若a＜0，
當(dāng)x＜a或x＞﹣2a時(shí)，g'（x）＞0；
當(dāng)a＜x＜﹣2a時(shí)，g'（x）＜0
所以當(dāng)x=﹣2a時(shí)，g（x）有極小值，
∴0＜﹣2a＜1即
所以當(dāng)或0＜a＜1時(shí)，g（x）在開區(qū)間（0，1）上存在極小值．