Question

【題目】設(shè)函數(shù) ．
（Ⅰ）若 ，求f（x）的極值；
（Ⅱ）若f（x）在定義域上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）定義域為x∈（0，+∞）． 當(dāng) 時， 且f'（1）=0．
令h（x）=﹣x+1﹣lnx，則 ，
故h（x）在定義域上是減函數(shù)，
注意到h（1）=0，
∴當(dāng)x∈（0，1）時，h（x）＞h（1）=0，此時f'（x）＞0；
當(dāng)x∈（1，+∞）時，h（x）＜h（1）=0，此時f'（x）＜0．
∴f（x）的極大值為f（1）=0，無極小值．
（Ⅱ）當(dāng)x∈（0，+∞）時，f′（x）= ≥0，
故2a≥ ，
令 ，
∴ ，
由g'（x）＞0得x∈（0，e2），
由g'（x）＜0得x∈（e2 ， +∞），
故g（x）的最大值為 ，
∴2a≥ ，a≥ e﹣2
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)到底是，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為2a≥ ，令 ，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．
【考點精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．