Question

17．已知向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$滿足$|{\overrightarrow a}|=2|{\overrightarrow b}|$，若向量$\overrightarrow c=\overrightarrow a+\overrightarrow b$，且$\overrightarrow c⊥\overrightarrow b$，則$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為120°．

Answer 1

分析 設(shè)$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為θ，根據(jù)向量的垂直即可得到cosθ=-$\frac{1}{2}$，問題得以解決．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為θ，
∵向量$\overrightarrow c=\overrightarrow a+\overrightarrow b$，且$\overrightarrow c⊥\overrightarrow b$，向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$滿足$|{\overrightarrow a}|=2|{\overrightarrow b}|$，
∴$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow$=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|•cosθ+${\overrightarrow}^{2}$=0，
即cosθ=-$\frac{1}{2}$，
∵0≤θ≤π．
∴θ=120°，
故答案為：120°．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，兩個向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．