Question

如下圖,四棱錐P—ABCD中,底面ABCD為矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD,E,F分別為CD,PB的中點.

(1)求證:EF⊥平面PAB;

(2)設(shè)AB=BC,求AC與平面AEF所成的角的大小.

Answer 1

解：以D為坐標(biāo)原點,DA的長為單位長度,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.

(1)證明如下,設(shè)E(a,0,0),其中a＞0,則C（2a,0,0）,A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),F(a,12,12).

=(0,,),=(2a,1,-1),

=(2a,0,0).

·=0.∴⊥.

·=0.∴EF⊥AB.

又PB平面PAB,AB平面PAB,PB∩AB=B.

∴EF⊥平面PAB.

(2)由AB=BC,得a=.

可得=(,-1,0),

=(,1,-1).

cos〈,〉=.

異面直線AC、PB所成的角為arccos.

=(,-,).

∴·=0.PB⊥AF.

又PB⊥EF,EF、AF為平面AEF內(nèi)兩條相交直線.

∴PB⊥平面AEF.

∴AC與平面AEF所成的角為-arccos=arcsin.

即AC與平面AEF所成的角為arcsin.