Question

如圖，已知四棱錐 P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，平面PBC⊥平面ABCD，O是BC的中點(diǎn)，AO交BD于點(diǎn)E。

（1）證明：PA⊥BD；
（2）點(diǎn)M為直線PA上的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M在何位置時(shí)有PA⊥平面BDM，并證明；
（3）判斷平面PAD與平面PAB是否垂直，并證明你的結(jié)論。

Answer 1

（1）證明：∵PB=PC，且O是BC的中點(diǎn)， ∴PO⊥BC， 又∵平面PBC⊥平面 ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC， ∴PO⊥平面ABCD， ∵BD平面ABCD， ∴PO⊥BD， 在梯形ABCD中，可得Rt△ABO≌Rt△BCD， ∴∠BEO=∠OAB+∠DBA=∠DBC+∠DBA= 90°，即AO⊥BD， 又∵PO∩AO=O， ∴BD⊥平面PAO， ∵PA平面PAO， ∴PA⊥BD。

（2）解：當(dāng)點(diǎn)M為PA的中點(diǎn)時(shí)符合題意。 下面證明這個(gè)結(jié)論： 連接BM、DM，由于AB=PB，則PA⊥BM， 又PA⊥BD，所以PA⊥平面BDM。 故當(dāng)點(diǎn)M為PA中點(diǎn)時(shí)PA⊥平面BDM。 （3）解：平面PAD⊥平面PAB， 下面證明這個(gè)結(jié)論： 取PB的中點(diǎn)N，連接CN， ∵PC=BC， ∴CN⊥PB，    ① ∵AB⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD， ∴AB⊥平面PBC，AB平面PAB， ∴平面PBC⊥平面PAB，      ② 由①，②可知，CN⊥平面PAB， 連接MN，則由MN∥AB∥CD，MN=AB=CD，得四邊形MNCD為平行四邊形， ∴CN∥DM，DM⊥平面PAB。