Question

如圖所示，水渠橫斷面為等腰梯形．

(1)若渠中流水的橫斷面積為S，水面的高為h，當(dāng)水渠側(cè)邊的傾斜角Φ為多大時，才能使橫斷面被水浸濕的周長為最��？

(2)若被水浸濕的水渠側(cè)邊和水渠底面邊長都等于a，當(dāng)水渠側(cè)邊傾斜角Φ多大時，水流的橫斷面積為最大？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)依題意，側(cè)邊BC＝h·(sinΦ)－1，設(shè)下底AB＝x， 　　則上底CD＝x＋2hcotΦ， 　　又s＝(2x＋2hcotΦ)h＝(x＋hcotΦ)h， 　　∴下底x＝－hcotΦ， 　　∴橫斷面被水浸濕周長 　　l＝＋(－hcotΦ)＝－＋(0＜Φ＜)． 　　∴Φ＝． 　　令Φ＝0，解得cosΦ＝， 　　∴Φ＝． 　　根據(jù)實際問題的意義，當(dāng)Φ＝時，水渠橫斷面被水浸濕的周長最�。� 　　(2)設(shè)水渠高為h，水流橫斷面積為S，則 　　S＝(a＋a＋2acosΦ)·h＝(2a＋2acosΦ)·acosΦ 　　＝a2(1＋cosΦ)·sinΦ(0＜Φ＜)． 　　∴＝a2[－sin2Φ＋(1＋cosΦ)cosΦ]＝a2(2cosΦ－1)(cosΦ＋1)． 　　令＝0，得cosΦ＝或cosΦ＝－1(舍)， 　　故在(0，)內(nèi)，當(dāng)Φ＝時，水流橫斷面積最大， 　　最大值為S＝a2(1＋cos)sin＝． 　　分析：分析各已知條件之間的關(guān)系，借助圖形的特征，合理選擇這些條件間的聯(lián)系方式，適當(dāng)選定變元，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，通過求導(dǎo)的方法或其他方法求出函數(shù)的最小值．