Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明1³+2³+3³+…+n³=n²（n+1）².

Answer 1

思路分析：本題是運用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式問題，在第二步n=k+1時，要通過提取公因式進(jìn)行因式分解.

證明：（Ⅰ）當(dāng)n=1時，左邊=1³=1，右邊=·1²·(1+1)²=1，故等式成立.

(Ⅱ)假設(shè)n=k（k∈N且k≥1）時等式成立.

即1³+2³+3³+…+k³=k²(k+1)²成立.

則當(dāng)n=k+1時，1³+2³+3³+…+k³+(k+1)³

=k²(k+1)²+(k+1)³

=(k+1)²+［k²+4(k+1)］

=(k+1)²(k+1)²

=(k+1)²［(k+1)+1］².

即當(dāng)n=k+1時等式也成立.

綜合(Ⅰ)(Ⅱ)，對一切n∈N，等式都成立.