Question

(本小題滿分l4分)

已知函數(shù)f(x)=ax³+bx²－3x在x=±1處取得極值.

（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的解析式；

（Ⅱ）求證：對于區(qū)間[－1，1]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，都有|f(x₁)－f(x₂)|≤4；

（Ⅲ）若過點A（1，m）（m≠－2）可作曲線y=f(x)的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

解: （I）f′(x)=3ax²+2bx－3，依題意，f′(1)=f′(－1)=0，

即

 

解得a=1，b=0.

∴f(x)=x³－3x.

（II）∵f(x)=x³－3x,∴f′(x)=3x²－3=3(x+1)(x－1)，

當－1<x<1時，f′(x)<0，故f(x)在區(qū)間[－1，1]上為減函數(shù)，

f_max(x)=f(－1)=2，f_min(x)=f(1)=－2

∵對于區(qū)間[－1，1]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，

都有|f(x₁)－f(x₂)|≤|f_max(x) －f_min(x)|

|f(x₁)－f(x₂)|≤|f_max(x)－f_min(x)|=2－(－2)=4

（III）f′(x)=3x²－3=3(x+1)(x－1)，

∵曲線方程為y=x³－3x，∴點A（1，m）不在曲線上.

設(shè)切點為M（x₀，y₀），則點M的坐標滿足

因，故切線的斜率為

，

 

整理得.

∵過點A（1，m）可作曲線的三條切線，

∴關(guān)于x₀方程=0有三個實根.

設(shè)g(x­₀)= ，則g′(x₀)=6，

由g′ (x₀)=0，得x₀=0或x₀­=1.

∴g(x₀)在（－∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減.

∴函數(shù)g(x₀)= 的極值點為x₀=0，x₀=1

∴關(guān)于x₀方程=0有三個實根的充要條件是

，解得－3<m<－2.

 

故所求的實數(shù)a的取值范圍是－3<m<－2.

【解析】略