Question

設(shè)x_i∈［1,+∞)(i=1,2,…,n)，

求證：.

Answer 1

證明：①先證明n=2^m(m∈N)原不等式恒成立，

（A）m=0時原不等式顯然成立，m=1時,

=≥0，

∴此時原不等式成立.

（B）設(shè)m=k即n=2^k時原不等式成立，令2^k=p，

則x_i∈［1,+∞)(i=1,2,…,p)時，

恒成立.

則x_i∈［1,+∞)(i=1,2,…,2p)時，

即n=2p=2^k+1,m=k+1時原不等式成立.

由（A）（B）可知對于任何m∈N,n=2^m時原不等式成立.

②對于任何n∈N^*,必存在k,使p=2^k＞n成立.

令x_n+1=x_n+2=…=x_p

=，

則成立，

即.

∴成立.

由①②可知對于任何n∈N^*,

成立.