Question

1．已知四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB=a，E、F分別是邊AB、CD的中點．若直線EF被四棱錐的外接球截得的線段長為2$\sqrt{2}$，則該球的體積為4$\sqrt{3}$π．

Answer 1

分析 由題意四棱錐P-ABCD的五個頂點位于同一個正方體的頂點處，且與該正方體內(nèi)接于同一個球．由此結(jié)合題意，可得正文體的棱長為2，算出外接球半徑R，再結(jié)合球的體積公式，即可得到該球體積．

解答 解：由題意四棱錐P-ABCD的五個頂點位于同一個正方體的頂點處，且與該正方體內(nèi)接于同一個球．
設(shè)外接球的球心為O，則O也是正方體的中心，設(shè)EF中點為G，連接OG，OA，AG
根據(jù)題意，直線EF被球面所截得的線段長為2$\sqrt{2}$，即正方體面對角線長也是2$\sqrt{2}$，
∴得AG=$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，∴正方體棱長a=2
∴Rt△OGA中，OG=$\frac{1}{2}$a=1，AO=$\sqrt{3}$，
即外接球半徑R=$\sqrt{3}$，得外接球的體積為$\frac{4}{3}$πR³=4$\sqrt{3}$π．
故答案為：4$\sqrt{3}$π．

點評 本題主要考查求外接球的體積，著重考查了正方體的性質(zhì)、三視圖和球內(nèi)接多面體等知識，屬于中檔題．