Question

1．如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB=CD=a，AD=2a，∠DAB=60°，AC∩BD=E，將其沿對角線BD折成直二面角．
（1）證明：AB⊥平面BCD；
（2）證明：平面ACD⊥平面ABD．

Answer 1

分析 （1）取BC中點M、AD中點N，連結NB、DM，推導出四邊形BNDM是菱形，由此能證明AB⊥平面BCD．
（2）由ME是△BCD中位線，得CD⊥BD，由平面BCD⊥平面ABD，得CD⊥平面ABD，由此能證明平面ACD⊥平面ABD．

解答 證明：（1）取BC中點M、AD中點N，連結NB、DM，
AN=$\frac{AD}{2}$=a，AN=AB，∠NAB=60°，
∴△BAN是等邊三角形，AN=BN，
同理CD=DM，∴四邊形BNDM是菱形，
∵MN是菱形對角線，∴BD⊥MN，
∴∠MEN是二面角A-BD-C的平面角，∴∠MEN=90°，
∵NE⊥BD，∴NE⊥平面BCD，
∵NE是△DAB的中位線，∴AB∥NE，
∴AB⊥平面BCD．
（2）∵M，E分別是BC、BD的中點，∴ME是△BCD中位線，
∴EM∥CD，∵EM⊥BD，∴CD⊥BD，
∵AB⊥平面BCD，AB?平面ABD，∴平面BCD⊥平面ABD，
∴CD⊥平面ABD，
∵CD?平面ACD，
∴平面ACD⊥平面ABD．

點評 本題考查線面垂直、面面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關系的合理運用．