Question

已知f（x）=sin2x+3sinx+3cosx（0≤x＜2π），
（1）求f（x）的值域；
（2）求f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）設sinx+cosx=t(-

2

≤t≤

2

)，則sin2x=t²-1，本題即求g（t）=t²+3t-1的值域，利用二次函數(shù)的性質求出g（t）的值域．
（2）求出f'（x）的解析式，則使f'（x）＞0的區(qū)間即為函數(shù)的增區(qū)間，使f'（x）＜0的區(qū)間即為函數(shù)的減區(qū)間．

解答：解：（1）由題意得：f（x）=2sinxcosx+3（sinx+cosx），
設sinx+cosx=t(-

2

≤t≤

2

)，則sin2x=t²-1，
于是只要求g（t）=t²+3t-1的值域．
又∵g(t)=(t+

3

2

)2-

13

4

，故與t=±

2

時，g（t）取得最值．
即f（x）的值域為[1-3

2

，1+3

2

]…（6分）
（2）f'（x）=2cos2x+3（cosx-sinx）=（cosx-sinx）（2cosx+2sinx+3）
而2cosx+2sinx+3＞0
故f（x）的單調遞減區(qū)間為[

π

4

，

5π

4

]，f（x）的單調遞增區(qū)間為[0，

π

4

]，[

5π

4

，2π]…（12分）

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，簡單符合函數(shù)的導數(shù)的求法，利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，屬于基礎題．