Question

16．如圖，直角三角形ABC中，A=60°，沿斜邊AC上的高BD，將△ABD折起到△PBD的位置，點(diǎn)E在線段CD上．
（1）求證：PE⊥BD；
（2）過點(diǎn)D作DM⊥BC交BC于點(diǎn)M，點(diǎn)N為PB中點(diǎn)，若PE∥平面DMN，求$\frac{DE}{DC}的值$．

Answer 1

分析 （1）由BD是AC邊上的高，得出BD⊥CD，BD⊥PD，由此證明BD⊥平面PCD，即可證明PE⊥BD；
（2）連接BE，交DM與點(diǎn)F，由PE∥平面DMN，得出PE∥NF，證明△DEF是等邊三角形，再利用直角三角形的邊角關(guān)系求出$\frac{DE}{DC}$的值即可．

解答 解：（1）∵BD是AC邊上的高，
∴BD⊥CD，BD⊥PD，
又PD∩CD=D，
∴BD⊥平面PCD，
又PE?平面PCD中，
∴BD⊥PE，即PE⊥BD；
（2）如圖所示，
連接BE，交DM與點(diǎn)F，
∵PE∥平面DMN，
∴PE∥NF，
又點(diǎn)N為PB中點(diǎn)，
∴點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)；
∴DF=$\frac{1}{2}$BE=EF；
又∠BCD=90°-60°=30°，
∴△DEF是等邊三角形，
設(shè)DE=a，則BD=$\sqrt{3}$a，DC=$\sqrt{3}$BD=3a；
∴$\frac{DE}{DC}$=$\frac{a}{3a}$=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了空間想象能力與邏輯推理能力的應(yīng)用問題，是綜合性題目．