Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)在點處的切線為．

（1）求實數(shù)，的值；

（2）是否存在實數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由；

（3）若，求證：．

Answer 1

（1）；（2）存在，的取值范圍為；（3）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）求導(dǎo)，進(jìn)而可得，即可解出，的值；（2）先對函數(shù)求導(dǎo)，再對的值進(jìn)行分類討論，即可得的取值范圍；（3）結(jié)合（2），可證，進(jìn)而可證，即可證.

試題解析：（1）【解析】
∵，其定義域為，

∴. 1分

依題意可得 2分

解得. 4分

（2）【解析】
，

∴ . 5分

① 當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，

∴. 6分

② 當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減,

∴. 7分

③當(dāng)時，則時，；時，，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

故當(dāng)時，的最小值為.

∵.

∴. 8分

綜上所述，存在滿足題意，其取值范圍為. 9分

（3）證法1：由（2）知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減,

∴ 時，, 即. 10分

∵ ,

∴ . 11分

∴ . 12分

∴ . 13分

∵ ,

∴. 14分

證法2：

設(shè)，

則.

當(dāng)，， 10分

∴在上單調(diào)遞減

∴. 11分

∴時，. 12分

,

∴. 13分

,

∴. 14分

考點：1、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；3、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.