Question

2．某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有10名同學(xué)，成員構(gòu)成如下表，其中表中部分?jǐn)?shù)據(jù)不清楚，只知道從這10名同學(xué)中隨機(jī)抽取一位，抽到該名同學(xué)為“數(shù)學(xué)專業(yè)”的概率為$\frac{2}{5}$．

專業(yè) 性別	中文	英語(yǔ)	數(shù)學(xué)	體育
男	n	1	m	1
女	1	1	1	1

現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)參加社會(huì)公益活動(dòng)（每位同學(xué)被選到的可能性相同）．
（Ⅰ） 求m，n的值；
（Ⅱ）求選出的3名同學(xué)恰為專業(yè)互不相同的男生的概率；
（Ⅲ）設(shè)ξ為選出的3名同學(xué)中“女生或數(shù)學(xué)專業(yè)”的學(xué)生的人數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （I）設(shè)事件A：從10位學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，抽到該名同學(xué)為“數(shù)學(xué)專業(yè)”．利用概率求出n即可．
（II）設(shè)事件B：從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)為專業(yè)互不相同的男生．利用古典概型求解概率即可．
（III）ξ的可能取值為0，1，2，3．求出概率，得到分布列，然后求解期望．

解答 （本小題滿分13分）
解：（I）設(shè)事件A：從10位學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，抽到該名同學(xué)為“數(shù)學(xué)專業(yè)”．
由題意可知，“數(shù)學(xué)專業(yè)”的學(xué)生共有（1+m）人．
則$P（A）=\frac{1+m}{10}=\frac{2}{5}$．
解得 m=3．
所以n=1．…（4分）
（II）設(shè)事件B：從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)為專業(yè)互不相同的男生．
則$P（B）=\frac{C_3^1C_3^2+1}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{12}$．…（7分）
（III）由題意，ξ的可能取值為0，1，2，3．
由題意可知，“女生或數(shù)學(xué)專業(yè)”的學(xué)生共有7人．
所以$P（ξ=0）=\frac{C_3^3}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{120}$，$P（ξ=1）=\frac{C_7^1C_3^2}{{C_{10}^3}}=\frac{21}{120}=\frac{7}{40}$，$P（ξ=2）=\frac{C_7^2C_3^1}{{C_{10}^3}}=\frac{63}{120}=\frac{21}{40}$，$P（ξ=3）=\frac{C_7^3}{{C_{10}^3}}=\frac{35}{120}=\frac{7}{24}$．
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{120}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{21}{40}$	$\frac{7}{24}$

所以 $Eξ=0×\frac{1}{120}+1×\frac{7}{40}+2×\frac{21}{40}+3×\frac{7}{24}=\frac{21}{10}$． …（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，考查計(jì)算能力．