Question

【題目】如圖，已知一個八面體的各條棱長均為，四邊形為正方形，給出下列命題：

①不平行的兩條棱所在的直線所成的角是或； ②四邊形是正方形；

③點到平面的距離為； ④平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．

其中正確的命題全部序號為_________________

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

利用八面體的結構特征逐條驗證即可.

因為八面體的各條棱長均為1，四邊形ABCD為正方形，

所以在四棱錐E﹣ABCD中，相鄰兩條側棱所成的角為60°，而像AE與CE所成的角為90°，①正確

因為AE=CE=1，AC=，滿足勾股定理的逆定理，所以AE⊥CE，同理AF⊥CF，AE⊥AF，所以四邊形AECF是正方形；故②正確；

設點A到平面BCE的距離h，由VE﹣ABCD=2VA﹣BCE，所以，解得h=；所以點A到平面BCE的距離；故③正確；

設平面與平面交線為m，顯然m平行BC，

取AD的中點為P，BC的中點為Q，則PE⊥m，QE⊥m

故∠PEQ為平面與平面所成的銳二面角的平面角

易知：PQ=1，PE=QE=，∴cos∠PEQ=，故④正確.

故答案為：①②③④