Question

12．如圖，網格紙上每個正方形小格的邊長為1，圖中粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該幾何體外接球的表面積為（　�。�

• A． $\frac{45}{4}$πcm²
• B． 45πcm²
• C． 54πcm²
• D． 216πcm²

Answer 1

分析 由三視圖知該幾何體是三棱錐，由三視圖得到直觀圖，求出外接球的半徑，進一步求球的表面積．

解答 解：根據三視圖和題意知幾何體是三棱錐P-ABC，
直觀圖如圖所示：
D是AC的中點，PB⊥平面ABC，且PB=BD=3，所以AB=BC=3$\sqrt{2}$；
∴PB⊥AB，PB⊥BC，PB⊥BD，所以三棱錐外接球的直徑為$\sqrt{P{B}^{2}+A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（3\sqrt{2}）^{2}+（3\sqrt{2}）^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
所以外接球的半徑為$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，表面積為4$π（\frac{3\sqrt{5}}{2}）^{2}$=45π；
故選B．

點評 本題考查了由三視圖求幾何體的表面積，由三視圖正確復原幾何體是解題的關鍵，考查了空間想象能力．