Question

用[a]表示不大于a的最大整數(shù)．令集合P={1，2，3，4，5}，對任意k∈P和m∈N*，定義，集合，并將集合A中的元素按照從小到大的順序排列，記為數(shù)列{a_n}．
（Ⅰ）求f（1，2）的值；
（Ⅱ）求a₉的值；
（Ⅲ）求證：在數(shù)列{a_n}中，不大于的項共有f（m，k）項．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)新的定義列式，然后根據(jù)[a]表示不大于a的最大整數(shù)進行求解，即可求出所求；
（II）根據(jù)數(shù)列{a_n}是將集合A中的元素按從小到大的順序排立而成，然后設計一表格，從而求出a₉的值；
（III）分別求出（II）中表格的每一行共有多少個數(shù)不大于，然后相加，即可根據(jù)定義即可得到結(jié)論．
解答：（本小題共13分）
解：（Ⅰ）由已知知=1+1+0+0+0=2．
所以f（1，2）=2．                                                    …（4分）
（Ⅱ）因為數(shù)列{a_n}是將集合中的元素按從小到大的順序排立而成，
所以我們可設計如下表格

km	1	2	3	4	5	‥‥	m
1					‥‥		‥‥
2					‥‥
3				‥‥	‥‥
4				‥‥	‥‥
5				‥‥	‥‥

從上表可知，每一行從左到右數(shù)字逐漸增大，每一列從上到下數(shù)字逐漸增大．
且＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜‥‥
所以 ．                                                    …（8分）
（Ⅲ）任取m₁，m₂∈N*，k₁，k₂∈P，
若，則必有m₁=m₂，k₁=k₂．
即在（Ⅱ）表格中不會有兩項的值相等．
對于而言，若在（Ⅱ）表格中的第一行共有m₁的數(shù)不大于，
則m₁，即m₁，所以m₁=，
同理，第二行共有m₂的數(shù)不大于，有m₂=，
第i行共有m_i的數(shù)不大于，有m_i=．
所以，在數(shù)列{a_n}中，不大于的項共有項，即f（m，k）項．
…（13分）
點評：本題主要考查了數(shù)列的應用，解題的關鍵是讀懂新的定義，同時考查了計算能力，屬于中檔題．