Question

3．若如圖為某直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直）被削去一部分后的直觀圖與三視圖中的側(cè)視圖、俯視圖，則其正視圖的面積為4，三棱錐D-BCE的體積為$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 由題意可知，正視圖為直角三角形，直角邊長為2，4，可得正視圖的面積；證明AB⊥平面ACDE，求出四棱錐B-ACDE的體積、三棱錐E-ACB的體積，即可求出三棱錐D-BCE的體積．

解答 解：由題意可知，正視圖為直角三角形，直角邊長為2，4，故正視圖的面積為$\frac{1}{2}×2×4$=4；
四棱錐B-ACDE中，AE⊥平面ABC，∴AE⊥AB，
又AB⊥AC，且AE和AC相交，
∴AB⊥平面ACDE，
又AC=AB=AE=2，CD=4，
則四棱錐B-ACDE的體積V=$\frac{1}{3}×\frac{（4+2）×2}{2}×2$=4，
又三棱錐E-ACB的體積為$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$=$\frac{4}{3}$，
∴三棱錐D-BCE的體積為4-$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$．
故答案為：4；$\frac{8}{3}$．

點評 本題考查正視圖的面積，考查考查幾何體的體積，考查學生分析解決問題的能力，難度中等．