Question

已知滿足ax•f（x）=2bx+f（x），a≠0，f（1）=1且使f（x）=2x成立的實數x有且只有一個．
（1）求f（x）的表達式；
（2）數列{a_n}滿足：，證明：{b_n}為等比數列．
（3）在（2）的條件下，若，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）=，知，由此能求出f（x）的表達式．
（2）由b_n+1=2b_n，能夠證明{b_n}是首項為2，公比為2的等比數列．
（3）由b_n=2ⁿ，知C_n=，所以C_2k+C_2k+1=＜．由此能夠證明S_n＜．
解答：解：（1）∵f（x）=，
∴，
∴
（2）證明：∵，
∴，
b_n+1=2b_n，
∴{b_n}是首項為2，公比為2的等比數列．
（3）∵b_n=2ⁿ，
∴C_n=
∴C_2k+C_2k+1=＜
∴n為奇數時，S_n=C₁+（C₂+C₃）+…+（C_n-1+C_n）＜1+
=1+=＜
n為偶數時，S_n＜S_n+1＜
綜合以上，S_n＜
點評：本題考查函數與數列的綜合應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．