Question

7．已知函數(shù)f（x）=|2x-a|+a．
（1）若不等式f（x）≤4的解集為{x|-1≤x≤2}，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）在（1）的條件下，若存在實(shí)數(shù)n使得f（n）≤t-f（-n）成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由絕對值不等式的解法可得a-2≤x≤2，由a-2=-1，可得a的值；
（2）由題意可得f（n）+f（-n）的最小值不小于t，運(yùn)用去絕對值方法，結(jié)合一次函數(shù)的單調(diào)性可得最小值，即可得到t的范圍．

解答 解：（1）由|2x-a|+a≤4，
得|2x-a|≤4-a，
∴a-4≤2x-a≤4-a，
即a-2≤x≤2，
∴a-2=-1，∴a=1．
（2）由（1）知f（x）=|2x-1|+1．
令φ（n）=f（n）+f（-n），
則φ（n）=|2n-1|+|2n+1|+2=$\left\{\begin{array}{l}{2-4n，n≤-\frac{1}{2}}\\{4，-\frac{1}{2}＜n≤\frac{1}{2}}\\{2+4n，n＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
當(dāng)n≤-$\frac{1}{2}$時(shí)，φ（n）≥2-（-2）=4；
當(dāng)n＞$\frac{1}{2}$時(shí)，φ（n）＞4．
∴φ（n）的最小值為4，
故實(shí)數(shù)t的取值范圍是[4，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查絕對值不等式的解法，考查不等式恒成立問題的解法，注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．