Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點，
(Ⅰ)證明：CD⊥AE；
(Ⅱ)證明：PD⊥平面ABE；
(Ⅲ)求二面角A-PD-C的余弦值。

Answer 1

(Ⅰ)證明：在四棱錐P-ABCD中，因PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD， 故PA⊥CD， ∵AC⊥CD，PA∩AC=A， ∴CD⊥平面PAC，AE平面PAC， ∴AE⊥CD。 (Ⅱ)證明：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA， ∵E是PC的中點， ∴AE⊥PC， 由(Ⅰ)知，AE⊥CD，且PC∩CD=C， 所以AE⊥平面PCD，而PD平面PCD， ∴AE⊥PD， ∵PA⊥底面ABCD， ∴PA⊥AB， 又AD⊥AB，PA∩AD=A， ∴AB⊥面PAD， ∴AB⊥PD， 又AB∩AE=A， 綜上得，PD⊥平面ABE。
(Ⅲ)解：由題設PA⊥底面ABCD，PA平面PAD， 則平面PAD⊥平面ACD，交線為AD， 過點C作CF⊥AD，垂足為F， 故CF⊥平面PAD，過點F作FM⊥PD，垂足為M， 連接CM，故CM⊥PD，因此∠CMF是二面角A-PD-C的平面角， 由已知，可得∠CAD=30°， 設AC=a，可得PA=a，， ∵， ∴， 于是，， 在Rt△CMF中，， 故二面角A-PD-C的余弦值為。