Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}，x∈[0，\frac{1}{2}）}\\{3{x}^{2}，x∈[\frac{1}{2}，1]}\end{array}\right.$，若存在常數(shù)t使得方程f（x）=t有兩個(gè)不等的實(shí)根x₁，x₂（x₁＜x₂），那么x₁•f（x₂）的取值范圍為（　�。�

• A． [$\frac{3}{4}$，1）
• B． [$\frac{1}{8}$，$\frac{\sqrt{3}}{6}$）
• C． [$\frac{3}{16}$，$\frac{1}{2}$）
• D． [$\frac{3}{8}$，3）

Answer 1

分析 作出f（x）的圖象，以及直線(xiàn)y=t，方程f（x）=t有兩個(gè)不等的實(shí)根，即為直線(xiàn)y=t和y=f（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，分別求得x₁，x₂的范圍，由不等式的性質(zhì)，即可得到所求范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}，x∈[0，\frac{1}{2}）}\\{3{x}^{2}，x∈[\frac{1}{2}，1]}\end{array}\right.$，
作出f（x）的圖象，以及直線(xiàn)y=t，
方程f（x）=t有兩個(gè)不等的實(shí)根，即為
直線(xiàn)y=t和y=f（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
由x+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$，可得x=$\frac{1}{4}$，
由1=3x²，可得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（負(fù)的舍去），
即有$\frac{1}{4}$≤x₁＜$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$≤x₂≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{1}{4}$≤x₂²≤$\frac{1}{3}$，
則x₁•f（x₂）=3x₁•x₂²∈[$\frac{3}{16}$，$\frac{1}{2}$）．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，同時(shí)考查不等式的性質(zhì)和運(yùn)算能力，屬于中檔題．