Question

已知函數(shù)f(x)=2x³+ax²+bx+3在x=-1和x=2處取得極值.

(1)求f(x)的表達(dá)式和極值.

(2)若f(x)在區(qū)間［m,m+4］上是單調(diào)函數(shù),試求m的取值范圍.

(3)存在正數(shù)t,使得對任意x₁,x₂∈［-t,t］,|f(x₁)-f(x₂)|≤27恒成立,試求t的取值范圍.

Answer 1

解:(1)依題意得:f′(x)=6x²+2ax+b=0的兩根為-1和2,∴得

∴f(x)=2x³-3x²-12x+3.∴f′(x)=6x²-6x-12=6(x+1)(x-2).

令f′(x)＞0,得x＜-1或x＞2;令f′(x)＜0,得-1＜x＜2.(列表)

∴f(x)_極大=f(-1)=10.∴f(x)_極小=f(2)=-17.4分

(2)由(1)知,f(x)在(-∞,-1］和［2,+∞)上單調(diào)遞增,在［-1,2］上單調(diào)遞減.

∴m+4≤-1或或m≥2.∴m≤-5或m≥2,

即m的取值范圍是(-∞,-5］∪［2,+∞).

(3)由(1)知,f(x)_極大-f(x)_極小=27.令f(x)=2x³-3x²-12x+3=10,

得2x³-3x²-12x-7=02(x³+1)-3(x²+4x+3)=0;(x+1)²(2x-7)=0.得x₁=-1,x₂=.

令f(x)=-17得2x³-3x²-12x+20=0(x-2)²(2x+5)=0.得x₃=2,x₄=.

依題意得［-t,t］［,］.∴t≤.∴t的最大值是.