Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2，AB=1，∠ABC=90°；點D、E分別在BB₁，A₁D上，且B₁E⊥A₁D，四棱錐C-ABDA₁與直三棱柱的體積之比為3：5．
（1）求異面直線DE與B₁C₁的距離；
（2）若BC=

2

，求二面角A₁-DC₁-B₁的平面角的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）因B₁C₁⊥A₁B₁，且B₁C₁⊥BB₁，故B₁C₁⊥面A₁ABB₁，
從而B₁C₁⊥B₁E，又B₁E⊥DE，故B₁E是異面直線B₁C₁與DE的公垂線
設BD的長度為x，則四棱椎C-ABDA₁的體積V₁為V1=

1

3

SABDA1?BC=

1

6

(DB+A1A)?AB?BC=

1

6

(x+2)?BC
而直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V₂為V2=S△ABC?AA1=

1

2

AB?BC?AA1=BC
由已知條件V₁：V₂=3：5，故

1

6

(x+2)=

3

5

，解之得x=

8

5

從而B1D=B1B-DB=2-

8

5

=

2

5

在直角三角形A₁B₁D中，A1D=

A1B12+B1D2

=

1+( 2 5 )2

=

29

5

，
又因S△A1B1D=

1

2

A1D•B1E=

1

2

A1B1•B1D，
故B1E=

A1B1•B1D

A1D

=

2 29

29

（Ⅱ）如圖1，過B₁作B₁F⊥C₁D，垂足為F，連接A₁F，因A₁B₁⊥B₁C₁，A₁B₁⊥B₁D，故A₁B₁⊥面B₁DC₁．
由三垂線定理知C₁D⊥A₁F，故∠A₁FB₁為所求二面角的平面角
在直角△C₁B₁D中，C1D=

B1C12+B1D2

=

2+( 2 5 )2

=

3 6

5

，
又因S△C1B1D=

1

2

C1D•B1F=

1

2

B1C1•B1D，
故B1F=

B1C1•B1D

C1D

=

2 3

9

，所以tanA1FB1=

A1B1

B1F

=

3 3

2

．