Question

已知函數(shù)f(x)=［tln(x+2)-ln(x-2)］,且f(x)≥f(4)恒成立.

(1)求t的值；

(2)求x為何值時，f(x)在［3，7］上取最大值；

(3)設(shè)F(x)=aln(x-1)-f(x),若F(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，求a的取值范圍.

Answer 1

解：(1)∵f(x)=［tln(x+2)-ln(x+2)］,且f(x)≥f(4)恒成立，

∴f(x)的定義域為(2,+∞),且f(4)是f(x)的最小值.

又∵f′(x)=［］,

∴f′(4)=0.解得t=3.

(2)由上問知f′(x)=［］=.

∴當(dāng)2＜x＜4時,f′(x)＜0;當(dāng)x＞4時,f′(x)＞0.

∴f(x)在(2,4)上是減函數(shù)，在（4，+∞）上是增函數(shù).

∴f(x)在［3，7］上的最大值應(yīng)在端點(diǎn)處取得.

∵f(3)-f(7)=［3ln5-ln1］-［3ln9-ln5］=［ln625-ln729］＜0,∴f(3)＜f(7),

即當(dāng)x=7時,f(x)取得在［3，7］上的最大值.

(3)∵F(x)是單調(diào)遞增函數(shù),F′(x)≥0恒成立,

又∵F′(x)=,

顯然在f(x)的定義域(2,+∞)上,(x-1)(x²-4)＞0上恒成立.

∴(a-1)x²+5x-4(a+1)≥0在(2,+∞)上恒成立.

下面分情況討論(a-1)x²+5x-4(a+1)≥0在(2,+∞)上恒成立時,a的解的情況.

當(dāng)a-1＜0時,顯然不可能有(a-1)x²+5x-4(a+1)≥0在(2,+∞)上恒成立.

當(dāng)a-1=0時,(a-1)x²+5x-4(a+1)=5x-8≥0在(2,+∞)上恒成立.

當(dāng)a-1＞0時,又有兩種情況:①Δ=5²+16(a-1)(a+1)≤0；

②＜2且(a-1)·2²+5×2-4(a+1)≥0.

由①得16a²+9≤0，無解；由②得a≥.

∵a-1＞0,∴a＞1.

綜上所述各種情況，當(dāng)a≥1時,(a-1)x²+5x-4(a+1)＞0在(2,+∞)上恒成立.

∴所求的a的取值范圍為［1,+∞).